Дед Мороз по-итальянски - Babbo Natale, а рождественская елка - albero di Natale.
С рождеством - Buon Natale, аналог английскому выражению - Merry Christmas!
Buon Natale e Buon Anno - если мы хотим поздравить еще и с Новым годом. Еще одно устойчивое выражение:
Buon Natale e felice Anno Nuovo - радостного Рождества и счастливого Нового года.

Я желаю вам веселого Рождества и успешного Нового года - Vi faccio tanti auguri di Buon Natale e Prospero Anno Nuovo.
Самые лучшие пожелания к Рождеству и Новому году (немного криво звучит по-русски, но главное разобраться с грамматикой в начале фразы и смысл станет понятен) - I piú cari ed affettuosi auguri di Buon Natale e Buon Capodanno. (Capodanno - новый год).

Дальше нам потребуется помощь словаря: sereno - спокойны, soddisfazione - удовлетворение:
I piú cari auguri per un sereno Natale e per un Anno Nuovo ricco di tante soddisfazione.
gioioso - радостный;
I migliori auguri per il Santo Natale e per un gioioso Anno Nuevo.

Я желаю тебе и твоей семье радостного праздника и всего наилучшего в наступающем Новом Году. - Auguro a te e famiglia un Buon Natale e un Felice Anno nuovo.